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MATLAB自学笔记(十八):极限与数值积分

matlab仿真 파충충好气气 675℃ 0评论

一、函数的极限

极限理论是微积分学的基础理论。在MATLAB中,采用limit计算数量或函数的极限

1.极限的概念

设{xn}为数列,a为常数。若对于任意正数ε,总存在正整数N,使得当n>N时,有|xn – a| < ε,则称数列{xn}收敛于a,常数a成为该数列的极限

极限又有左极限与右极限之分

2.求极限的函数(limit)

  • limit(expr, x, a):求函数expr在x->a处的极限
  • limit(expr):求函数expr在x->0处的极限
  • limit(expr, x, a, ‘left’):求函数expr在x->a处的左极限
  • limit(expr, x, a, ‘right’):求函数expr在x->a处的右极限

二、函数数值积分

定积分的计算一般用牛顿-莱布尼茨公式

F(x)是f(x)的原函数之一,由不定积分求得。但是在实际中,往往会遇到一系列的问题

  • 被积函数f(x)是由函数表格提供
  • 被积函数表达式极其复杂,求不出原函数;或求出的原函数很复杂不利于计算
  • 大量函数的原函数不易求出,或原函数无法用初等函数表达,因而无法合适的在计算机上表达

数值积分便是为了解决此类问题而提出的。数值积分只需计算f(x)在节点xi(i = 1,2,…,n)上的值,计算方便且利于在计算机上实现

1.数学表述

数值积分的实质是把连续的定积分(∫)问题拆分成了一系列的点,并对这些点的值进行叠加求和(∑)。这些点称为积分节点,他有一个对应的求积系数

因此,求积分的关键在于积分节点的选择及积分系数的确定

MATLAB仅支持三重积分及以下的积分运算。且在计算积分值时,要求积分区间是确定的

2.一元函数的数值积分

quad函数

quad采用遍历的自适应辛普森法计算函数的数值积分,适用于精度要求低、被积函数平滑性较差的数值积分

  • Q = quad(FUN, A, B)
  • Q = quad(FUN, A, B, TOL)
  • Q = quad(FUN, A, B, TOL, TRACE)
  • [Q, FCNT] = quad(…)

式中,FUN为被积函数的句柄,FUN应该接收向量输入,并输出相同长度的向量;A,B分别为积分的起始值和结束值;TOL用于控制自适应辛普森的误差,增大TOL可以加快计算速度,但是计算精度下降。默认:TOL = 1.0e-6。TRACE值非0时,函数输出计算过程中的[fcnt a b-a Q];FCNT为函数计算的次数

quadl函数

quadl函数采用遍历的自适应Lobatto法计算函数的数值积分,适用于精度要求高、被积分函数曲线比较平滑的数值积分,其用法与quad函数相同

quadv函数

当被积函数是一系列的函数时,即含有除x外的变量k时,其积分结果与k的取值有关

quadv函数是quad函数的矢量扩展,因此也成为矢量积分。其用法与quad函数相同

矢量积分的计算结果是一个向量

 

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